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圆锥面的三重积分

解:原式=∫(上限2π,下限0)dθ∫(上限1,下限0)rdr∫(上限1-r,下限0)(rcosθ+rsinθ+z)dz =π/12

数学上的三重积分:三元函数z=f(x,y,z)定义在有界闭区域Ω上,将区域任意分成n个子域Δvi(i=1,2,3…,n)并以Δvi表示第i个子域的体积.在Δvi上任取一点(ξi,ηi,ζi),i从1到n作和Σf(ξi,ηi,ζi)Δvi.如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限

xx+yy=z是椭圆抛物面,不是圆锥面.所以xx+yy

分直角坐标,直角坐标,柱坐标,球坐标.直角坐标有两种方法:一是化为三次积分;另一种是先重后单.柱坐标:遇到积分域是圆柱;旋转抛物面;圆锥面与平面围成区域一般用柱坐标.球坐标:遇到积分域是球域,圆锥面与球面围成区域一般用球坐标.

设x=rsinacosθ,y=rsinasinθ,z=rcosa,则dxdydz=r^2sinadrdadθ,x^2+y^2+z^2=z变为r=cosa,原式=2∫dθ∫da∫r^3sinadr=4π∫(1/4)(cosa)^4sinada=π(-1/5)(cosa)^5|=π/5.仅供参考.

积分区域是整个球体或者半个球体或由圆锥面与球面围成,可考虑球面坐标系;积分区域的边界是球面、圆锥面、圆柱面、旋转抛物面等,可考考虑柱面坐标系;肌敞冠缎攉等圭劝氦滑其余情况考虑直角坐标系. 上面是一般情况,有时候考虑到被积函数,坐标系的选择还会有变化,比如积分区域由平面z=1与旋转抛物面z=x^2+y^2围成,可用柱面坐标系,但如果被积函数f(x,y,z)=z,那么选择先xy后z的直角坐标的积分次序会让解题过程简单.

没有检查,仅供参考.

积分区间为球和圆锥面包围的立体区域 可以直接化为球面坐标 或先求立体在xoy面的投影,化为柱面坐标 两种方法,过程如下:

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